Аперіодичне замощення, породжене неповними сумами бігеометричних рядів

by Дмитро Карвацький (Інститут математики НАН України)

Thursday 5 Nov 2026, 15:30 → 17:00 Europe/Kiev

https://bbb.imath.kiev.ua/fra-gzt-rh6 (ONLINE)

Розглядаємо параметризовану сім'ю множин
\[
  E(x,y) = \left\{
    \sum_{n=1}^\infty \frac{\varepsilon_n}{4^n} :
    (\varepsilon_n) \in \{ 0, x, y, x+y \}^{\mathbb{N}}
  \right\}
  \quad
  \text{для \( (x,y) \in \mathbb{N}^2 \)}.
\]

Такі множини можна розглядати через призму трьох підходів: а) як однорідні самоподібні множини; б) як множини підсум бігеометричних рядів; або в) як множину «раціональних» ортогональних проєкцій чотирикутної Канторової множини. Поєднуючи ці три підходи, ми отримуємо повну топологічну класифікацію \( E(x,y) \) для \( (x,y) \in \mathbb{N}^2 \).

Далі ми зводимо цю топологічну класифікацію до бінарної — залежно від того, чи має \( E(x,y) \) непорожню внутрішність. Візуалізація цієї бінарної класифікації породжує двоколірне замощення (мозаїку) \( T \) ґратки \( \mathbb{N}^2 \), яке, попри чітку та виражену структуру, виявляється аперіодичним; зокрема, доведено, що воно не має нетривіальних трансляційних симетрій. Завдяки жорсткості нашої моделі ця ж бінарна класифікація одночасно охоплює кілька дихотомій. Найбільш прикметно, що при розгляді сім'ї \( \{ E(x,y) \}_{(x,y) \in \mathbb{N}^2} \) у межах теорії самоподібних множин замощення \( T \) описує виникнення ефекту падіння розмірності (dimension drop).

Крім того, ми досліджуємо механізм, що зумовлює аперіодичний порядок такого замощення. Спираючись на теоретико-числові властивості замощення, ми характеризуємо його підстановочну структуру та виявляємо, що \( T \) є фактором підстановкового замощення на чотирьох «прихованих» арифметично визначених станах.

Це спільна робота з Наталією Юргою (Університет Сент-Ендрюса).