Про деякі метричні та ймовірнісні задачі, задані в термінах ланцюгового $A_2$-зображення

by Олег Макарчук (Інститут математики НАН України)

Thursday 8 Feb 2024, 15:30 → 17:00 Europe/Kiev

https://bbb.imath.kiev.ua/b/fra-gzt-rh6 (ONLINE)

У доповіді розглядається ланцюгове $A_2$-представлення з алфавітом $\{\alpha_1; \alpha_2\}$, де $\alpha_2 > \alpha_1 > 0$, $\alpha_2 \alpha_1 = 0,5$. Нехай $\nu(\alpha_2; n; x)$ — відносна частота цифри $\alpha_2$ серед перших $n$ цифр ланцюгового $A_2$-зображення числа $x = [a_1; a_2; \ldots; a_n; \ldots]$. Показано, що при $\alpha_2 > 8 - 4 \sqrt{2}$ для деякого $C \in (0; 1)$ для майже всіх (в розумінні міри Лебега) $x \in [\alpha_1; \alpha_2]$ виконується умова $\limsup_{n \to +\infty} \nu(\alpha_2; n; x) \le C$.

Нехай на ймовірнісному просторі $(\Omega; S; P(\cdot))$ задана послідовність незалежних дискретно розподілених випадкових величин $(\xi_n)$, які набувають значень $\alpha_1$ та $\alpha_2$ з ймовірностями $0,5$ відповідно. Для випадкової величини $\xi = [\xi_1; \xi_2; \ldots; \xi_n; \ldots]$ розглядаються умови, які виконуються для знаменників $q_n(\xi(\omega))$ підхідних дробів $\xi$ для майже всіх $\omega \in \Omega$.