Узагальнення критерію нормальності Пятецького-Шапіро для чисел з $Q_s$-цифрами / Generalization of the Piatetski-Shapiro criterion of normality for numbers with $Q_s$-digits

by Ростислав Кривошия (Інститут математики НАН України)

Thursday 2 Dec 2021, 15:30 → 17:00 Europe/Kiev

https://bbb.imath.kiev.ua/b/fra-gzt-rh6 (резервна кімната https://zoom.us/j/76427685994?pwd=NkFRemJQcGpJQ0xKSDlRa0hiMHFhUT09) (ONLINE)

У доповіді для $Q_s$-представлення, заданого стохастичним вектором $(q_0; q_1; \ldots; q_{s-1})$, та деякої послідовності стохастичних векторів $(q_{0k}; q_{1k}; \ldots; q_{(s-1)k})$, $k \in \mathbb{N}$, вводяться числа $x = \Delta^{Q_s}_{\alpha_0 \alpha_1 \ldots}$ з властивістю
\[
  \lim_{n\to\infty} \frac{N_n(x; (\beta_1; \beta_2; \ldots; \beta_l))}{n}
  = \prod_{j=1}^\infty q_{\beta_jj}
  \qquad (1)
\]
для довільного блоку цифр $(\beta_1; \beta_2; \ldots; \beta_l)$, де $N_n(x; (\beta_1; \beta_2; \ldots; \beta_l))$ — кількість блоків цифр $(\beta_1; \beta_2; \ldots; \beta_l)$ серед цифр $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\ldots$, $\alpha_n$ числа $x$. Показано, що коли існує стала $C$ така, що для довільного блоку цифр $(\beta_1; \beta_2; \ldots; \beta_l)$
\[
  \limsup_{n\to\infty} \frac{N_n(x; (\beta_1; \beta_2; \ldots; \beta_l))}{n}
  < C \prod_{j=1}^\infty q_{\beta_jj},
\]
то $x$ задовольняє умову (1). Вказано алгоритм побудови числа, що має властивість (1).

In the talk, for $Q_s$-expansion defined by stochastic vector $(q_0, q_1, \ldots, q_{s-1})$ and for some sequence of stochastic vectors $(q_{0k}, q_{1k}, \ldots, q_{(s-1)k})$, $k \in \mathbb{N}$, we introduce numbers $x = \Delta^{Q_s}_{\alpha_0 \alpha_1 \ldots}$ with the property
\[
  \lim_{n\to\infty} \frac{N_n(x, (\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_l))}{n}
  = \prod_{j=1}^\infty q_{\beta_jj}
  \qquad (1)
\]
for any block of digits $(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_l)$, where $N_n(x, (\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_l))$ is a number of blocks of digits $(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_l)$ among digits $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\ldots$, $\alpha_n$ of a number $x$. We show that if there exists constant $C$ such that, for any block of digits $(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_l)$,
\[
  \limsup_{n\to\infty} \frac{N_n(x, (\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_l))}{n}
  < C \prod_{j=1}^\infty q_{\beta_jj},
\]
then $x$ satisfies condition (1). Algorithm for constructing of a number with property (1) is given.