Неперервні структурно фрактальні функції, означені в термінах $Q_s$-зображення та нега-$Q_s$-зображення чисел (фаховий семінар)

Це фаховий семінар, організований відділом динамічних систем та фрактального аналізу для публічної презентації здобувачем наукових результатів дисертації на здобуття ступеня доктора філософії за спеціальністю 111 «Математика» та її обговорення. Відділ має надати розгорнутий висновок про наукову новизну, теоретичне та практичне значення результатів дисертації.

Дисертаційне дослідження присвячене застосуванням скінченносимвольних зображень дійсних чисел з нульовою надлишковістю (а саме $Q_s$-зображення та нега-$Q_s$-зображення) у конструктивній теорії неперервних локально складних функцій, визначених на відрізку $[0; 1]$, які мають структурно фрактальні властивості.

Основними об'єктами дослідження є неперервні функції, які зберігають хвости нега-$Q_s$-зображення, ніде не монотонні та ніде не диференційовні функції, означені в термінах $Q_s$-зображення, та функції, пов'язані з нескінченними згортками Бернуллі, керованими негадвійковим рядом.

Основні результати, що будуть представлені під час доповіді:

1. Доведено, що множина неперервних перетворень одиничного відрізка (бієктивних відображень відрізка на себе), які зберігають хвости негадвійкового зображення чисел, відносно операції «композиція» (суперпозиція) утворює некомутативну групу, що має континуальну підгрупу зростаючих перетворень. Такі перетворення конструюються за допомогою операторів лівостороннього та правостороннього зсувів цифр зображення чисел.
2. Знайдено умови, за яких нескінченна згортка Бернуллі, керована негадвійковим рядом, має рівномірний, чисто дискретний, абсолютно неперервний, сингулярний та експоненційний розподіли.
3. Вивчено структуру та спектральні властивості випадкової величини, цифри негадвійкового зображення якої утворюють однорідний ланцюг Маркова.
4. Доведено, що нега-$Q_s$-зображення чисел є перекодуванням відомого $Q_s$-зображення та породжує ідентичну метричну теорію. Для цієї системи зображення чисел доведено, що група неперервних перетворень одиничного відрізка, які зберігають хвости нега-$Q_s$-зображення чисел, є нескінченною групою, яка містить підгрупу зростаючих перетворень.
5. Для класу неперервних локально складних самоафінних функцій, що визначені в термінах $Q_s$-зображення чисел, обчислено локальні показники Гельдера в точках із заданими асимптотичними частотами цифр у їхньому $Q_s$-зображенні. Знайдено умови, за яких ці функції мають континуальні множини рівнів.
6. Для неперервних самоафінних функцій, що задовольняють додаткові умови, описано геометричну структуру множин точок максимуму, зокрема показано, що вони можуть бути фрактальними.