Літня онлайн школа з лінійної алгебри та її застосувань

Scientific Programme

Наукова програма школи складається з декількох циклів лекцій, присвячених додатковим розділам лінійної алгебри, її застосуванням, та суміжним питанням. Програма орієнтована на слухачів з початковим рівнем математичної підготовки, які володіють основами лінійної алгебри та аналізу. Враховуючи різний рівень підготовки для різних слухачів, організатори вирішили присвятити перший тиждень викладенню більш-менш традиційного матеріалу з теорії операторів у скінченновимірних гільбертових просторах (втім, додаючи певних "родзинок", які зазвичай не входять в стандартні курси), який надалі буде використовуватись у наступних міні-курсах.

Лінійні оператори в скінченновимірних гільбертових (унітарних) просторах

Міні-курс присвячений викладенню основних понять та фактів теорії операторів у скінченновимірних лінійних на гільбертових (унітарних) просторах, які необхідні для розуміння подальшого матеріалу.

Програма курсу.

1. Лінійні простори. Лінійні простори. Лінійна залежність, базиси, розмірність простору. Гомоморфізм та ізоморфізм просторів. Операції над просторами: підпростір, фактор-простір, пряма сума, тензорний добуток. Гільбертів простір. Нерівність Шварца, поляризаційна тотожність. Ортогональні та ортонормовані системи. Ортонормовані базиси. Нерівність Бесселя та рівність Парсеваля. Лінійно незалежні системи векторів. Матриця Грама. Операції над гільбертовими просторами: проектування на підпростір, ортогональне доповнення, пряма сума, тензорний добуток.
2. Лінійні оператори в гільбертовому просторі. Лінійні оператори. Норма лінійного оператора. Операції над операторами. Спряжений оператор. Спектр оператора. Резольвента. Спектральний радіус. Матричне представлення оператора. Зміна матриці при переході до іншого базису. Слід оператора. Простір операторів, норма Гільберта-Шмідта. Звуження оператора на підпростір, пряма сума операторів, розклад Пірса. Тензорний добуток операторів.
3. Самоспряжені оператори. Самоспряжений оператор, його матриця. Ортопроектори. Власні значення та власні вектори самоспряженого оператора. Спектральний розклад самоспряженого оператора. Комутативні набори самоспряжених операторів. Сумісний спектр. Невід'ємні оператори. Нормальні оператори. Функціональне числення для самоспряжених та нормальних операторів.
4. Несамоспряжені оператори. Унітарні оператори. Ізометричні та частково ізометричні оператори. Полярний розклад оператора.

Спектральна теорія графів і позитивні матриці. Теорема Перона і її аналог для квантового каналу

1. Теорема Перона і позитивні матриці.
2. Спектри графів і властивості найбільших власних значень.
3. Аналог теореми Перона для квантових каналів (простий рівень, на прикладах).

Основи квантових обчислень

Вступ до теорії фреймів

Квантова заплутаність та нелокальні ігри

Групи, дії груп, та зображення

Лінійна алгебра в автономній робототехніці

Міні-курс присвячений викладенню основних застосувань лінійної алгебри в задачах
автономної робототехніки, зокрема у сприйнятті середовища, оцінюванні стану та
керуванні рухом робототехнічних систем.
Курс орієнтований на студентів молодших курсів математичних спеціальностей і не
передбачає попереднього знайомства з робототехнікою чи комп’ютерним зором.

Програма курсу

1. Сприйняття та геометрія автономної системи. Сенсорні дані як елементи скінченновимірних векторних просторів. Зображення як вектори великої розмірності. Внутрішні добутки, норми та відстані між зображеннями і сенсорними вимірюваннями. Лінійні перетворення зображень: фільтрація, згладжування, виділення контурів. Згортка як лінійний оператор та її матричне подання. Координатні системи робота, камери та зовнішнього середовища. Ортогональні матриці, повороти, зсуви та однорідні координати. Матричний опис переходів між системами координат. Проєктивна модель камери. Перспективна проєкція, матриця камери, гомографії та їх зв’язок із лінійними відображеннями в однорідних координатах.

2. Оцінювання стану та локалізація. Поняття стану робототехнічної системи. Вектор стану: положення, швидкість, орієнтація та інші параметри руху. Лінійні дискретні динамічні системи. Матриця переходу стану. Степені матриці та еволюція системи в часі. Власні значення та власні вектори матриці динаміки. Стійкість лінійної системи та спектральний радіус. Лінійні моделі вимірювань. Неповні та зашумлені спостереження. Метод найменших квадратів у задачах оцінювання стану. Ортогональні проєкції, нормальні рівняння, псевдообернена матриця. Спостережуваність лінійної системи. Матриця спостережуваності, рангова умова спостережуваності та її геометричний зміст. Ідея фільтра Калмана як послідовного поєднання прогнозу динаміки та корекції за вимірюваннями.

3. Керування та прийняття рішень. Лінійні системи з керуванням. Матриці динаміки та керування. Простір досяжних станів. Керованість лінійної системи. Матриця керованості, рангова умова керованості та її інтерпретація через лінійну оболонку досяжних напрямів. Зворотний зв’язок за станом. Замкнена система та зміна спектра матриці динаміки під дією керування. Стабілізація лінійних систем. Власні значення як індикатори стійкості та характеру руху. Квадратичні форми в задачах оптимального керування. Додатно означені матриці, функції вартості та штрафи за відхилення стану й енергію керування. Ідея лінійно-квадратичного регулятора. Рівняння Ріккаті як приклад матричного рівняння, що виникає в оптимальному керуванні. Зв’язок класичних методів оцінювання і керування з сучасними підходами до автономної робототехніки та машинного навчання.