Метричні задачі та структура послідовностей, продукованих оператором зсуву символів ланцюгового $A_2$-зображення / Metric problems and structure of sequences produced by the shift operator for symbols of the $A_2$-continued fraction representation

by Ростислав Кривошия (Кропивницький будівельний фаховий коледж)

Thursday 1 Feb 2024, 15:30 → 17:00 Europe/Kiev

https://bbb.imath.kiev.ua/b/fra-gzt-rh6 (ONLINE)

У доповіді для числа $[a_1; a_2; \ldots; a_n; \ldots]$, заданого в термінах ланцюгового $A_2$-представлення з алфавітом $\{0{,}5; 1\}$, розглядається оператор лівостороннього зсуву
\[
  T([a_1; a_2; \ldots; a_n; \ldots]) = [a_2; a_3; \ldots; a_{n+1}; \ldots].
\]
Для чисел з двома різними $A_2$-зображеннями домовлено використовувати зображення, що містить період $(0{,}5; 1)$.

Позначимо
\[
  T_n(x) = \underbrace{T(T(\ldots T(x)))}_n.
\]
Досліджуються питання структури послідовностей $T_n(x)$, типу розподілу, якому відповідають $T_n(x)$. Розглянуто деякі метричні результати для задачі, коли цифри $\xi_1$, $\xi_2$, $\ldots$ ланцюгового $A_2$-зображення числа $[\xi_1; \xi_2; \ldots; \xi_n; \ldots]$ вибираються випадково, незалежно з ймовірностями $0{,}5$ відповідно.

In the talk, for a number $[a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots]$ given in terms of the $A_2$-continued fraction expansion with alphabet $\{0.5, 1\}$, we consider the left shift operator
\[
  T([a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots]) = [a_2, a_3, \ldots, a_{n+1}, \ldots].
\]
For numbers with two different $A_2$-representations we use the representation that contains period $(0.5, 1)$.

Let
\[
  T_n(x) = \underbrace{T(T(\ldots T(x)))}_n.
\]
We study structure of sequences $T_n(x)$ and type of the distribution corresponding to $T_n(x)$. We consider some metric results for the problem when digits $\xi_1$, $\xi_2$, $\ldots$ of the $A_2$-continued fraction representation of number $[\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n, \ldots]$ are chosen randomly and independently with probabilities $0.5$, respectively.