Основи теорії вільних некомутативних функцій та деякі застосування в алгебрі и аналізі / Foundations of the theory of free noncommutative functions and some applications in algebra and analysis

by Дмитро Калюжний-Вербовецький (Південноукраїнський національний педагогічний університет імені К. Д. Ушинського)

Wednesday 27 Jan 2021, 14:30 → 15:40 Europe/Kiev

https://zoom.us/j/96191298906?pwd=YkpXekk5U2ltMXM3Y09JcTJEYzNCQT09 (ONLINE)

Доповідь присвячена систематичній побудові основ теорії вільних некомутативних функцій, у повній природній загальності. Такі функції є означеними на матрицях будь-якого розміру і приймають свої значення у просторах матриць того ж розміру, так що вони інваріантні відносно операцій прямої суми та подібності матриць. Основними прикладами таких функцій служать некомутативні поліноми, некомутативні раціональні функції та некомутативні степеневі ряди, але це далеко не повний перелік. Ці функції допускають диференціaльно-різницеве числення, аж до некомутативної формули Тейлора. Як наслідок, вони мають дуже сильні  властивості, що дозволяють отримати цікаві алгебраїчні та аналітичні результати. Наприклад, встановлено такий чисто алгебраїчний факт: родина поліномів від матричних елементів на матрицях усіх розмірів, що інваріантна відносно операцій прямої суми та подібності матриць і така, що степені поліномів обмежені, має виникати шляхом обчислення одного некомутативного полінома на матрицях усіх розмірів. Другий, аналітичний приклад: локально обмежена некомутативна функція має бути аналітичною. У доповіді буде також наведено стислий історичний огляд та деякі інші застосування.

The report is devoted to a systematic construction of foundations of the theory of free noncommutative functions, in full natural generality. Such functions are defined on matrices of any size and take their values in matrix spaces of the same matrix size, so that they are invariant with respect to operations of taking direct sums and similarities of matrices. The main examples of such functions are noncommutative polynomials, noncommutative rational functions and noncommutative power series, but this is by no means a complete list. These functions allow differential-difference calculus, up to the noncommutative Taylor formula. As a result, they have very strong properties that allow one to get interesting algebraic and analytical results. For example, such a purely algebraic fact is established: a family of polynomials of matrix elements on matrices of all sizes, which is invariant with respect to direct sums of matrices and matrix similarities and such that the degrees of polynomials are bounded, must arise from calculating values of one noncommutative polynomial on matrices of all sizes. Second, analytical example: a locally bounded noncommutative function must be analytical. The report will also provide a brief historical overview and include some other applications.

Zoom:  Join Zoom Meeting
https://zoom.us/j/96191298906?pwd=YkpXekk5U2ltMXM3Y09JcTJEYzNCQT09

Meeting ID: 961 9129 8906
Passcode: 358700